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【pythonで統計学】背理法の基本について

python 統計学 背理法

統計的仮説検定を用いる場合には、その背景に「背理法」という考え方が採用されています

背理法を始めて聞く場合には、わかりにくいものですが、慣れれば自身の思考の糧にすることができます

この記事では、背理法とは何かについて解説していきたいと思います

pythonで統計学を学ぶ流れは以下の記事を参考にしてください

python 統計学
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背理法とは

背理法とは、コトバンクで以下のように定義されています

命題の仮定のほかに,結論の否定を仮定して推論を行ない,そこから導かれる矛盾を示すことで命題を証明する方法

もう少し簡単にすると、

命題Aを証明するのに、命題Aが成り立たないと仮定し、矛盾が導かれることを示すことで、命題Aが成り立つと証明する方法

のことです

統計的仮説検定で背理法が用いられるのは、

  • 仮説の正しさを証明することが難しい
  • 仮説が正しくないことを証明することは可能

といった理由が挙げられます

「命題」がわからない場合には以下の書籍から学ぶのをおすすめします

論理学は人の思考の根底にある学問であるため、どのような職業の人でも必須の学問だと思います

背理法の例

命題A:猫は動物である

「猫は動物ではない」と仮定する(帰無仮説)

「猫は動物ではない」という仮定の矛盾点を見つける

「猫は動物ではない」という仮定に矛盾点があるので、仮定は否定される

よって、「猫は動物である」(対立仮説)が証明される

帰無仮説・対立仮説については以下の記事を参考にしてください

python 統計学 帰無仮説
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背理法を用いて仮説を証明する

背理法を用いるのは、「仮説の正しさを証明することが難しい」という理由があります

例えば「この世のカラスは黒い」という仮定を証明するにはどうすればいいでしょうか?

この世のカラスは黒くない」という反対の仮説を立てます

この世のカラスは黒くない」を証明するには、黒いカラスをたくさん見つけてくればOKです

100羽観察して、100羽とも黒いカラスだった=「この世のカラスは黒くない」という仮説は間違っている

つまり、「この世のカラスは黒い」という仮説が正しい

という風に導かれます

仮説が正しいことを証明することは難しいですが、仮説が正しくないことを証明することは可能です

そのため、統計的仮説検定でも同じような方法が用いられることになります

どれくらいの黒いカラスを見つけるべきか

上述した黒いカラスの例では、100羽見つけて100羽とも黒いカラスだった=「この世のカラスは黒くない」というカラスは間違っている

という判断をしました

この判断する数値を有意水準と言います

慣例的に用いられる有意水準は5%ですが、100羽のうち95羽が黒いカラスであれば、仮説は間違っている、という判断になります

背理法の落とし穴

100羽のうち95羽が黒いカラスであった場合には、「この世のカラスは黒くない」という仮説が間違っていた、と判断することができます

しかし、100羽のうち94羽が黒いカラスだった場合にはどうでしょう?

「この世のカラスは黒くない」という仮説が正しいと判断しても良いのでしょうか?

ここが背理法の落とし穴なのですが、帰無仮説が棄却されなかった場合、「帰無仮説が正しい」とはなりません

「帰無仮説が正しいかどうかはわからない」という結論になるだけです

今回の場合は「この世のカラスは黒くないかどうかはわからない」ということです

まとめ

  • 背理法:命題Aを証明するのに、命題Aが成り立たないと仮定すると矛盾が導かれること示すことで、命題Aが成り立つと証明する方法
  • 背理法の証明の流れ
    1. 「命題𝐴」を証明したい
    2. 「命題Aが成り立たない」と仮定する
    3. 「命題Aが成り立たない」という仮定が矛盾することを、計算や推論で導く
    4. よって「矛盾があるので仮定は間違いである!」となる
    5. したがって「命題Aは正しい」と結論付ける
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