【pythonで統計学】t値とp値についてわかりやすく解説

統計検定を行うと出てくるのが「t値」と「p値」です

多くの場合「p値」について理解していれば、研究結果を述べることができるかと思います

私もそうですし、学会や論文なんかでも「p値」のみに言及していることが多いです

しかし、統計の勉強を進めていくと「t値」を理解しなければいけないタイミングがやってきます

今回は「p値」のおさらいと「t値」について解説をしていきたいと思います

これまでの「pythonで統計学」の一覧はこちらから見ることができるので、そちらも参考にしてください！

pythonで統計学を学ぶメリット〜実際の学習手順を紹介〜近年、データサイエンティストの需要が高まってきていますが、データサイエンティスト必須能力として、「プログラミング言語」「統計学」が挙げられています。pythonで統計学を扱えれば、データサイエンティストとしての道も開けるでしょう。今回はpythonで統計学を学ぶメリットや実際にどのように学習していくべきかを解説していきたいと思います。...

まとめ

t値は検定統計量の1種で、仮説検定において標本データから計算される標準化された値
t値の理解にはt分布の理解が必要

p値は帰無仮説を棄却する目安

Contents

1 t値とは
- 1.1 t分布とは
- 1.2 t分布から区間推定を行う
2 p値について
3 まとめ

t値とは

t値は検定統計量の1種で、t検定を行った際に出てきます

そのため「t値」と呼ばれています

マンホイットニーのU検定などをかけても「t値」は出てきません

以下を見比べるとわかります

t値の算出は、

t値=標本平均-比較対象値/標準誤差

で求めることができます

t値が0である場合には標本の結果が帰無仮説と完全に一致することを示していることになります

標本データと帰無仮説との差が増加すれば、t値の絶対値は増加していきます

t値単体ではあまり判断材料にはしません

ここでt分布という理解が必要になってきます

t分布とは

t分布とは「平均𝑥¯の標本分布において，母集団の標準偏差𝜎の代わりに標本標準偏差𝑠′を用いた場合の標準化後の平均𝑥¯が従う確率分布」です

ざっくりいうと、標準正規分布の代わりになるのが、t分布ということになります

＞＞＞標準正規分布について(…coming soon…)

言葉だけではわかりにくいので、実際にt分布をpythonで書いてみたいと思います

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

# -10 から 10　の区間で200列の一次元配列を作成
x = np.linspace(-10, 10, 200)

# サブプロットを用意
fig, ax = plt.subplots(1, 1)

# 自由度（1, 3, 30）の3つのt分布をプロット
deg_of_freedom = [1, 3, 30]
for k in deg_of_freedom:
    ax.plot(x, stats.t.pdf(x, k), label=r'$k=%i$' % k)

plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(0, 0.4)

plt.legend()
plt.show()

kが自由度を表していますが、自由度の値が大きくなるにつれてt分布がシャープになっているのがわかるかと思います

t分布はサンプルサイズが少ない(n=30以下)場合に用いる、と言われています

サンプルサイズが増えるにつれて、予測される平均値のブレが少なくなるため、シャープになっていきます

次に標準正規分布とt分布を比較してみたいと思います

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

x = np.linspace(-10, 10, 100)
z = stats.norm.pdf(x, loc=0, scale=1)
for k in range(1, 10, 4):
    t = stats.t.pdf(x, k)
    plt.plot(x, t, label=f'$k=%i$' % k)
plt.plot(x, z, label='std norm', linewidth=3)
plt.legend()

太い赤い線が標準正規分布なので、自由度が増加すると、t分布は標準正規分布に近似していくことがわかります

こういった背景があるため、サンプルサイズが増えた場合には、t分布ではなく、標準正規分布を使用してもOKだよね、となります

t分布から区間推定を行う

ではt分布から信頼区間を算出したいと思います

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

x = np.linspace(-5, 5, 100)
left, right = stats.t.interval(0.95, df=2)
t = stats.t.pdf(x, df=2)
plt.plot(x, t)
plt.axvline(left, c='r')
plt.axvline(right, c='r')
print(left, right)

>>>-4.302652729911275 4.302652729911275

信頼区間の幅が結構大きいのがわかるかと思います

自由度が小さい(今回は自由度2)場合には、区間も広くなってしまいます

では、自由度を大きくしてみたいと思います

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

x = np.linspace(-5, 5, 100)
left, right = stats.t.interval(0.95, df=100)
t = stats.t.pdf(x, df=100)
plt.plot(x, t)
plt.axvline(left, c='r')
plt.axvline(right, c='r')
print(left, right)

>>>-1.9839715184496334 1.9839715184496334

1枚目と2枚目の赤線の間が95%区間です

自由度が大きくなるにつれて、95%区間が狭くなるのがわかるかと思います

メモ

基本的にはt分布を使用することが推奨されています

しかし、自由度が高くなる(サンプルサイズが増える)と標準正規分布に近づくため、標準正規分布が使用されます

統計ソフトのほとんどが「正規性の検定」で正規分布をしているかを確認しているので、そちらを使うのがいいと思います

pythonなどのプログラミング言語で統計をかける場合には、t分布を用いるのがいいのかな、と思います